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高等数学
伯努利不等式
(
1
+
x
)
n
≥
1
+
n
x
(
x
>
−
1
,
n
∈
N
+
)
(1 + x)^n \geq 1 + nx \quad (x > -1, \ n \in \mathbb{N}^+ )
(
1
+
x
)
n
≥
1
+
n
x
(
x
>
−
1
,
n
∈
N
+
)
二次不等式（判别式）
a
x
2
+
b
x
+
c
≥
0
或
a
x
2
+
b
x
+
c
≤
0
ax^2 + bx + c \geq 0 \text{ 或 } ax^2 + bx + c \leq 0
a
x
2
+
b
x
+
c
≥
0
或
a
x
2
+
b
x
+
c
≤
0
柯西不等式（均方根不等式）
(
a
1
2
+
a
2
2
+
⋯
+
a
n
2
)
(
b
1
2
+
b
2
2
+
⋯
+
b
n
2
)
≥
(
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
+
a
n
b
n
)
2
(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2
(
a
1
2
+
a
2
2
+
⋯
+
a
n
2
)
(
b
1
2
+
b
2
2
+
⋯
+
b
n
2
)
≥
(
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
+
a
n
b
n
)
2
洛必达法则（极限不等式）
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
当
g
′
(
x
)
≠
0
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \quad \text{当 } g'(x) \neq 0
lim
x
→
a
g
(
x
)
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
g
′
(
x
)
f
′
(
x
)
当
g
′
(
x
)
=
0
闵科夫斯基不等式
(
∑
i
=
1
n
(
a
i
+
b
i
)
p
)
1
/
p
≤
(
∑
i
=
1
n
a
i
p
)
1
/
p
+
(
∑
i
=
1
n
b
i
p
)
1
/
p
( \sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^p )^{1/p} \leq ( \sum_{i=1}^n a_i^p )^{1/p} + ( \sum_{i=1}^n b_i^p )^{1/p}
(
∑
i
=
1
n
(
a
i
+
b
i
)
p
)
1
/
p
≤
(
∑
i
=
1
n
a
i
p
)
1
/
p
+
(
∑
i
=
1
n
b
i
p
)
1
/
p
切比雪夫不等式
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
+
a
n
b
n
≥
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
b
1
+
b
2
+
⋯
+
b
n
\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n}{b_n} \geq \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n}
b
1
a
1
+
b
2
a
2
+
⋯
+
b
n
a
n
≥
b
1
+
b
2
+
⋯
+
b
n
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
三角形不等式（向量形式）
∣
a
+
b
∣
≤
∣
a
∣
+
∣
b
∣
| \mathbf{a} + \mathbf{b} | \leq | \mathbf{a} | + | \mathbf{b} |
∣
a
+
b
∣
≤
∣
a
∣
+
∣
b
∣
斯特林公式
n
!
≈
2
π
n
(
n
e
)
n
n! \approx \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n
n
!
≈
2
π
n
(
e
n
)
n
算术-几何-调和平均值不等式
a
+
b
2
≥
a
b
≥
2
a
b
a
+
b
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}
2
a
+
b
≥
a
b
≥
a
+
b
2
a
b
算术平均值不小于几何平均值
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
n
≥
a
1
a
2
⋯
a
n
n
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}
n
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
≥
n
a
1
a
2
⋯
a
n
詹森不等式
f
(
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
n
)
≤
f
(
a
1
)
+
f
(
a
2
)
+
⋯
+
f
(
a
n
)
n
f\left( \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \right) \leq \frac{f(a_1) + f(a_2) + \cdots + f(a_n)}{n}
f
(
n
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
)
≤
n
f
(
a
1
)
+
f
(
a
2
)
+
⋯
+
f
(
a
n
)
正数的加权平均值不等关系
a
1
w
1
+
a
2
w
2
+
⋯
+
a
n
w
n
w
1
+
w
2
+
⋯
+
w
n
≥
a
1
w
1
a
2
w
2
⋯
a
n
w
n
n
\frac{a_1 w_1 + a_2 w_2 + \cdots + a_n w_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n} \geq \sqrt[n]{a_1^{w_1} a_2^{w_2} \cdots a_n^{w_n}}
w
1
+
w
2
+
⋯
+
w
n
a
1
w
1
+
a
2
w
2
+
⋯
+
a
n
w
n
≥
n
a
1
w
1
a
2
w
2
⋯
a
n
w
n
对数函数
y
=
log
a
x
y = \log_a{x}
y
=
lo
g
a
x
二次函数
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
y = ax^2 + bx + c
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
反比例函数
y
=
k
x
y = \frac{k}{x}
y
=
x
k
一次函数
y
=
m
x
+
b
y = mx + b
y
=
m
x
+
b
指数函数
y
=
a
x
y = a^x
y
=
a
x
导数定义
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
h
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
对数函数导数
d
d
x
(
log
a
x
)
=
1
x
ln
a
\frac{d}{dx}(\log_a{x}) = \frac{1}{x \ln a}
d
x
d
(
lo
g
a
x
)
=
x
ln
a
1
复合函数导数
d
d
x
(
f
(
g
(
x
)
)
)
=
f
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
d
x
d
(
f
(
g
(
x
)
)
)
=
f
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
幂函数导数
d
d
x
(
x
n
)
=
n
x
n
−
1
\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}
d
x
d
(
x
n
)
=
n
x
n
−
1
指数函数导数
d
d
x
(
e
x
)
=
e
x
\frac{d}{dx}(e^x) = e^x
d
x
d
(
e
x
)
=
e
x
复数方程
z
=
a
+
b
i
z = a + bi
z
=
a
+
b
i
高次方程
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
.
.
.
+
a
0
=
0
x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0 = 0
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
.
.
.
+
a
0
=
0
线性方程组
{
a
x
+
b
y
=
c
d
x
+
e
y
=
f
\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}
{
a
x
+
b
y
=
c
d
x
+
e
y
=
f
一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
ax^2 + bx + c = 0
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
对称轴
x
=
−
b
2
a
x = -\frac{b}{2a}
x
=
−
2
a
b
方程的解
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x
=
2
a
−
b
±
b
2
−
4
a
c
根的和
x
1
+
x
2
=
−
b
a
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
x
1
+
x
2
=
−
a
b
根的积
x
1
⋅
x
2
=
c
a
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
x
1
⋅
x
2
=
a
c
线性方程
a
x
+
b
y
=
c
ax + by = c
a
x
+
b
y
=
c
等比数列
a
n
=
a
1
⋅
r
n
−
1
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
a
n
=
a
1
⋅
r
n
−
1
等差数列
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
a_n = a_1 + (n-1)d
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
等差数列求和
S
n
=
n
2
(
a
1
+
a
n
)
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
S
n
=
2
n
(
a
1
+
a
n
)
矩形的面积
S
=
a
×
b
S = a \times b
S
=
a
×
b
平行四边形的面积
S
=
b
×
h
S = b \times h
S
=
b
×
h
三角形的面积
S
=
1
2
×
b
×
h
S = \frac{1}{2} \times b \times h
S
=
2
1
×
b
×
h
圆的面积
S
=
π
r
2
S = \pi r^2
S
=
π
r
2
圆的周长
C
=
2
π
r
C = 2\pi r
C
=
2
π
r
直角三角形的勾股定理
a
2
+
b
2
=
c
2
a^2 + b^2 = c^2
a
2
+
b
2
=
c
2
向量的夹角
θ
=
cos
−
1
(
u
⃗
⋅
v
⃗
∣
u
⃗
∣
∣
v
⃗
∣
)
\theta = \cos^{-1} \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \right)
θ
=
cos
−
1
(
∣
u
∣
∣
v
∣
u
⋅
v
)
向量的模
∣
v
⃗
∣
=
v
1
2
+
v
2
2
+
v
3
2
+
⋯
+
v
n
2
|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + \cdots + v_n^2}
∣
v
∣
=
v
1
2
+
v
2
2
+
v
3
2
+
⋯
+
v
n
2
向量的数量积
u
⃗
⋅
v
⃗
=
∣
u
⃗
∣
∣
v
⃗
∣
cos
(
θ
)
\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta)
u
⋅
v
=
∣
u
∣
∣
v
∣
cos
(
θ
)
向量定义
a
⃗
=
(
x
,
y
)
\vec{a} = (x, y)
a
=
(
x
,
y
)
数量积的计算
u
⃗
⋅
v
⃗
=
u
1
v
1
+
u
2
v
2
+
u
3
v
3
+
⋯
+
u
n
v
n
\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 + \cdots + u_n v_n
u
⋅
v
=
u
1
v
1
+
u
2
v
2
+
u
3
v
3
+
⋯
+
u
n
v
n
向量加法
a
⃗
+
b
⃗
=
(
x
1
+
x
2
,
y
1
+
y
2
)
\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)
a
+
b
=
(
x
1
+
x
2
,
y
1
+
y
2
)
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Courant
Opération
Relation
Flèche
Grec
Matrice
Exposant/Indice
Grande Opération
Fonction
Fonction Trigonométrique Hiperbolique Seno
+
/
×
±
-
÷
≤
∪
∈
∩
≰
⊂
π
ϕ
∞
θ
α
β
Éditer
Exporter
Police
Environnement
LaTex
MathType
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AIGC
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Reconnaissance instantanée d'images
AIGC
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Caligrafía
AIGC
Aperçu
Exporter
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Zone d'Aperçu
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PNG
PNGHD
JPG
JPGHD
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HTML
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MathML(mml)
MathML(m)
MathML(attr)
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Jaune
Vert
Orange
Pêche
Brun Clair
Bleu
Marron
Violet
Violette
Gris
Autres Couleurs
Très Petit
Super Petit
Petit
Normal
Grand
Très Grand
Super Grand
Énorme
Géant
mathrm
mathnormal
textrm
rm
textnormal
text
textup
mathit
textit
it
emph
mathbf
textbf
bf
bold
boldsymbol
bm
textmd
mathtt
texttt
tt
mathsf
textsf
sf
mathsfit
Bbb
mathbb
frak
mathfrak
mathcal
cal
mathscr
underline
none
array-left
array-right
displaylines
align
equation
gather
cases
matrix
pmatrix
bmatrix
vmatrix
Vmatrix
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